Введем сферические координаты
,
,
,
.
Новые переменные изменяются в пределах
,
,
.
Таким образом,
.
№7(Преподаватель у доски) Вычислить объем тела, ограниченного сферой
и параболоидом
.
Решение:
Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость
. Для этого достаточно из системы уравнений
,
исключить переменную
. В результате получим:
или
, откуда
и
- корни квадратного уравнения.
Следовательно, уравнением проекции будет окружность
.
В силу симметрии достаточно вычислить объем тела
находящегося в 1 октанте, и результат умножить на 4. Тогда согласно формуле:
для искомого объема получим
Так как проекция данного тела
на плоскость
есть круг
, то для вычисления последнего интеграла целесообразно перейти к цилинричиским координатам.
После преобразования по формулам:
,
,
уравнения окружности
, параболоида
и сферы
, соответственно принимают вид:
,
и
. Из рисунка видно, что в области интегрирования
угол
изменяется от
до
,
- от
до
,
- от
до
. Поэтому
Изучение условий эффективного взаимодействия ДОУ с родителями
Опытно-экспериментальная работа проводилась с июня 2007 года по апрель 2008 года. Местом для организации эксперимента явилось МДОУ, детский сад №8 «Светлячок». В эксперименте приняли участие двадцать семь родителей (в возрасте, в основном, старше тридцати лет) средней и старшей групп детского сада ...
Культура межнационального общения в современной школе
Современный этап развития образования характеризуется становлением гуманистической парадигмы образования, обновлением его целей и ценностей, развитием содержания и технологии образовательной деятельности. Это связано с проведением политических и экономических реформ, развитием рыночной экономики, р ...
Перечень проблем развития образования Тверской области
В процессе анализа выявлен ряд проблем, от решения которых зависит дальнейшее продвижение в развитии системы общего образования Тверской области: отмечается незавершенность институциональных реформ (базовые школы, выполняя дополнительные функции, не получили ни должного официального статуса, ни доп ...