Введем сферические координаты
,
,
,
.
Новые переменные изменяются в пределах
,
,
.
Таким образом,
.
№7(Преподаватель у доски) Вычислить объем тела, ограниченного сферой
и параболоидом
.
Решение:
Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость
. Для этого достаточно из системы уравнений
,
исключить переменную
. В результате получим:
или
, откуда
и
- корни квадратного уравнения.
Следовательно, уравнением проекции будет окружность
.
В силу симметрии достаточно вычислить объем тела
находящегося в 1 октанте, и результат умножить на 4. Тогда согласно формуле:
для искомого объема получим
Так как проекция данного тела
на плоскость
есть круг
, то для вычисления последнего интеграла целесообразно перейти к цилинричиским координатам.
После преобразования по формулам:
,
,
уравнения окружности
, параболоида
и сферы
, соответственно принимают вид:
,
и
. Из рисунка видно, что в области интегрирования
угол
изменяется от
до
,
- от
до
,
- от
до
. Поэтому
Усвоение знаний
Основой усвоения знаний является активная мыслительная деятельность учащихся, направляемая преподавателем (Нурминский И.И. и др., 1991; аннотация). Процесс учебного познания складывается из нескольких этапов. Первым из них является восприятие объекта, которое связано с выделением этого объекта из ф ...
Особенности обучения родному языку в разных возрастных группах
Дети младшего дошкольного возраста осваивают конкретное содержание слов, необходимых им для общения и обозначающих предметы ближайшего окружения, части предметов, действия с ними. Существенной особенностью речи детей этого возраста является искажение звуковой и морфологической структуры слов-наимен ...
Сущность и особенности восприятия музыки
Музыка глубоко и многообразно воздействует на чувства, мысли и волю людей, благотворно сказывается на их созидательном труде и опыте, участвует в формировании личности. Восприятие является таким же необходимым внутренним двигателем самого существования, исторического развития и социально-значимого ...