Методические рекомендации по проведению лекционных занятий с применением информационных технологий

Введем сферические координаты , , , .

Новые переменные изменяются в пределах , , .

Таким образом,

.

№7(Преподаватель у доски) Вычислить объем тела, ограниченного сферой и параболоидом .

Решение:

Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость . Для этого достаточно из системы уравнений , исключить переменную . В результате получим: или , откуда и - корни квадратного уравнения.

Следовательно, уравнением проекции будет окружность .

В силу симметрии достаточно вычислить объем тела находящегося в 1 октанте, и результат умножить на 4. Тогда согласно формуле: для искомого объема получим

Так как проекция данного тела на плоскость есть круг , то для вычисления последнего интеграла целесообразно перейти к цилинричиским координатам.

После преобразования по формулам: , , уравнения окружности , параболоида и сферы , соответственно принимают вид: , и . Из рисунка видно, что в области интегрирования угол изменяется от до , - от до , - от до . Поэтому

Вычисление тройного интеграла по любой области
Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая Этим путем и получаются все ...

Особенности формирования культуры межнационального общения у младших подростков
Культура межнациональных отношений - есть не что иное, как высокая степень совершенства и развития этих отношений, которые проявляются в межнациональных экономических и духовных связях разных народов, в соблюдении определенного нравственного такта и взаимной уважительности представителей различных ...

Семья как фактор социализации
В настоящее время проблемы семьи и семейного воспитания приобрели особую актуальность. Происходящие в России социальный и экономический кризисы заметно ухудшили демографическую ситуацию. Семья, традиционно очень уважаемый в нашей стране социальный институт, в значительной мере утратила свою ценност ...