Введем сферические координаты
,
,
,
.
Новые переменные изменяются в пределах
,
,
.
Таким образом,
.
№7(Преподаватель у доски) Вычислить объем тела, ограниченного сферой
и параболоидом
.
Решение:
Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость
. Для этого достаточно из системы уравнений
,
исключить переменную
. В результате получим:
или
, откуда
и
- корни квадратного уравнения.
Следовательно, уравнением проекции будет окружность
.
В силу симметрии достаточно вычислить объем тела
находящегося в 1 октанте, и результат умножить на 4. Тогда согласно формуле:
для искомого объема получим
Так как проекция данного тела
на плоскость
есть круг
, то для вычисления последнего интеграла целесообразно перейти к цилинричиским координатам.
После преобразования по формулам:
,
,
уравнения окружности
, параболоида
и сферы
, соответственно принимают вид:
,
и
. Из рисунка видно, что в области интегрирования
угол
изменяется от
до
,
- от
до
,
- от
до
. Поэтому
Информационные ресурсы общества
Человечество развивается благодаря генерированию информации. Нет необходимости доказывать, что для человека информация такой же энергетический продукт, как и пища. Чтобы быть хозяином положения в своей сфере, избранной области знаний или бизнеса, необходимо быть в курсе научно-технических событий, ...
Сущность понятия «музыкальная выразительность исполнения»
Музыка, как и каждый из видов искусства, имеет свои особенности, свои условности, свои специфические черты. Вместе с тем, музыке неотъемлемо присущи качества, объединяющие ее с другими искусствами; говоря иными словами, музыка подчиняется общим законам искусства. Основным из этих законов является т ...
Целостное обучение детей с умеренной умственной отсталостью через упражнение
Из различия структур учебных предметов следуют разные способы обучения. Так, при подражательном и опытном обучении центр тяжести падает на моторные, сенсорные и когнитивные навыки, в то время как при обучении, связанным с решением задач, упор делается на мышление и понимание. Учебной целью может бы ...