Замена переменных в тройных интегралах

С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.

Пуста между областями и пространств и cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство

где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство.

Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и на (соответствующие друг другу) элементарные части и , применим к каждой паре областей , формулу (25); получим

,

где есть некоторая точка области не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим

, , ,

и составим интегральную сумму для первого из интегралов:

.

Подставив сюда вместо , , выражения , а вместо —выражение (28), придем к сумме

,

которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов .

Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей . Сумма должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.

Как и в случае двойных интегралов формула имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.

Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов , существование другого отсюда уже будет вытекать.

Обучение графическим редакторам в курсе информатики и ИКТ
В ходе исследования учебников, используемых для преподавания в школе растровых редакторов, удалось выделить несколько. В основу учебников Макаровой Н.В. «Информатика. 10 класс» [18] заложена идея подготовки пользователя компьютера, владеющего базовой технологией работы в офисе. Учебник состоит из ш ...

Анализ имеющихся ИКТ для знакомства дошкольников с цветом
Любая педагогическая технология - это информационная технология, так как основу технологического процесса обучения составляет получение и преобразование информации. Более удачным термином для технологий обучения, использующих компьютер, является компьютерная технология. Компьютерные (новые информац ...

Методики «Узор» Л.И. Цеханской, «Графический диктант» Д.Б. Эльконина, «Рисование по точкам» А.Л. Венгера
Другой пример функционального подхода к диагностике школьной зрелости представляет программа Х. Бройер и М. Войффен (1986). Она целиком сконцентрирована на оценке речевого развития детей. Эта программа состоит из двух методик: ‘Проверка способности к дифференциации и «Краткий метод проверки уровня ...