Замена переменных в тройных интегралах

С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.

Пуста между областями и пространств и cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство

где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство.

Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и на (соответствующие друг другу) элементарные части и , применим к каждой паре областей , формулу (25); получим

,

где есть некоторая точка области не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим

, , ,

и составим интегральную сумму для первого из интегралов:

.

Подставив сюда вместо , , выражения , а вместо —выражение (28), придем к сумме

,

которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов .

Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей . Сумма должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.

Как и в случае двойных интегралов формула имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.

Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов , существование другого отсюда уже будет вытекать.

Условия, обеспечивающие успешность самостоятельной работы
Самостоятельная работа, как работа по заданию, может успешно осуществляться только тогда, когда учащийся ясно осознает цель работы и у него есть стремление к достижению этой цели. Иными словами, успех самостоятельной работы обусловливается целенаправленностью учащихся. Кроме того, успех самостоятел ...

Течение заикания
Заикание возникает то внезапно, иногда после некоторого периода немоты (от нескольких часов до нескольких дней), то исподволь, постепенно усиливаясь. Последнее происходит чаще всего в результате истощающих нервную систему болезней, интоксикации ее. При благоприятных условиях жизни и развития органи ...

Проблемы взаимодействия семьи и детского сада в истории педагогической теории и практики
Проблема эффективного взаимодействия с родителями стала особенно актуальной во второй половине XIX века, когда первая общественно-педагогическая организация, Санкт-Петербургское Педагогическое Собрание, начало курировать деятельность Временной комиссии детских садов. После этого общественное и семе ...