Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Проблема закрытия малокомплектных школ Тверской области
Несколько лет в Тверской области под видом "оптимизации" происходил самый настоящий разгром системы образования на селе. Поданными Росстата Тверская область к началу 2011 года оказалась на втором месте в ЦФО, после Тамбовской области по количеству закрытых малокомплектных сельских школ. С ...

Технология организации коллективной творческой деятельности
Поскольку основной формой функционирования педагогического процесса является коллектив, то технология воспитательного мероприятия может рассматриваться в контексте общей технологии организации коллективной творческой деятельности. Технология коллективного творческого воспитания - это, по существу, ...

Содержание и структура обследования мышления и речи детей с ЗПР и детей с нормальным речевым развитием
Для исследования мыслительных операций и речи детям были предложены 10 различных тестов. Классификация. Исключение лишнего. Что в начале, что потом? Скрытый смысл картин. Нелепицы. Загадки. Времена года. Чего не хватает? Аналитические задачи. Пересказ текста «Утята». С №1 – №8 диагностики описаны в ...