Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Комплекс форм, методов и приемов воспитания как условие эффективного освоения воспитанниками содержания воспитания
Метод воспитания в педагогике рассматривается как способ достижения заданной цели на основе организации педагогически целесообразного взаимодействия воспитателя и воспитанника. Метод воспитания (от греческого методос – путь) - это способ реализации целей воспитания. Методы воспитания являются главн ...

Характеристика системы образования Швейцарии
В Швейцарии образование является приоритетом. В стране примерно 1,1 млн. школьников и студентов, она занимает четвертое место в мире по числу нобелевских лауреатов. Швейцария объединяет 26 кантонов, где слились трех языка - немецкий, французский и итальянский. На первом языке говорит 65% населения, ...

Метаболизм кальция в организме человека
Метаболизм кальция. К функциям кальция в организме относятся: · структурная (кости, зубы); · сигнальная (внутриклеточный вторичный мессенджер-посредник); · ферментативная (кофермент факторов свертывания крови); · нейромышечная (контроль возбудимости, выделение нейротрансмиттеров, инициация мышечног ...