Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Представление понятия «мышление» в научных психолого-педагогических теориях
Понимание и описание феномена мышления в психологии неоднозначно и многократно. Существует несколько подходов к рассмотрению мышления. Рассмотрим некоторых из них. Психология мышления стала разрабатываться лишь в ХХ в. Господствовавшая до этого времени ассоциативная психология исходила из того поло ...

Особенности воспитания любви к природе у дошкольников в различные времена года
Летом. Далеко ли можно уйти летом с малышом? Гигиенисты считают, что в шесть лет ребенок может проходить «по прямой» до двух с половиной километров. Нормы эти, безусловно, примерны. Многое ведь зависит от физического состояния, от тренированности ребенка. Нормы и весьма изменчивы. Расстояние, котор ...

Актуальные вопросы обучения в современной педагогической психологии
Современные условия требуют строить обучение на новых принципах с учетом специфики мышления современного человека. Как отмечают исследователи, в начале XXI в. появились новые подходы не только к обучению, но и образованию вообще. Ученик (школьник, студент) стал относиться к образованию как путевке ...