Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Внутренняя энергия
Все тела состоят из молекул, которые непрерывно движутся и взаимодействуют друг с другом. Существует два вида механической энергии: кинетическая и потенциальная. Чем больше температура тела, тем больше средняя кинетическая энергия его молекул. Потенциальная энергия определяется взаимным расположени ...

Типология игр для дошкольников
Различают игры. По способу проведения (с водящим, без водящего, с предметами, без предметов, ролевые, сюжетные). По физическим качествам, преимущественно проявленным в игре (игры, преимущественно способствующие воспитанию силы, выносливости, ловкости, быстроты, гибкости). По отношению к структуре у ...

Как подготовить рабочий план проведения исследований, включающий этапы исследований, оценку затрат времени и выбор источников информации
Организационно-методический план, фиксирующий основные этапы работы в соответствии с программой исследования, содержащий указание календарных сроков, материальных и людских затрат, необходимых для достижения конечных целей. Составляется после завершения разработки программы исследования и необходим ...