Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Социальная значимость педагогической профессии
Профессия учителя является одной из древнейших. Первые школы возникли в странах древнего Востока в период формирования рабовладельческого общества. Постепенно из наблюдений, в процессе строительства городов и гидротехнических сооружений накапливался опыт общественно полезной деятельности, связанной ...

Переход к курсам географии, основу которых составляют ключевые понятия
Накопление знаний о детском мышлении шло параллельно серьезным изменениям в принципах обучения географии в школе. Самым важным из них является переход от объяснительного описания к овладению основными понятиями географической науки. Раньше главное внимание уделялось описанию, а не объяснению, так к ...

Проблема соотношения инвариантного и вариативного компонентов школьного образования
Речь о том, какие цели школьного образования могут быть достигнуты на базе общего для всех учащихся содержания образования, а какие цели возможно реализовать на различном для разных учащихся содержании образования. Например, «научить учиться» можно на материале разных предметов, для этого не обязат ...