Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Анализ содержания народных сказок как содержания воспитания
Такие нравственные категории, как добро и зло, хорошо и плохо, можно и нельзя, целесообразно формировать с помощью народных сказок, в том числе о животных. Эти сказки могут показать: - как дружба помогает победить зло ("Зимовье"); - как добрые и миролюбивые побеждают ("Волк и семеро ...

Формы и содержание работы с семьей
Целью социально-педагогической деятельности является реализация программы комплексной поддержки. Организация социально-педагогической работы осуществляется поэтапно. На начальном этапе происходит диагностика микросоциума и воспитательного потенциала семьи. Сюда относятся материальные и бытовые усло ...

Задачи воспитания в семье
Развитие интеллекта и творческих способностей, познавательных сил и первичного опыта трудовой деятельности, нравственное и эстетическое формирование, эмоциональная культура и физическое здоровье детей – все это зависит от семьи, от родителей, и все это составляет задачи семейного воспитания. В перв ...