Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Анализ готового электива «Окно в Британию»
Аналогично проанализируем элективный курс «Окно в Британию», составленный Т.Д. Андросенко. С точки зрения структурных компонентов, данное издание включает в себя: титульный лист, пояснительную записку, содержание курса, учебно-тематический план. В титульном листе указан автор-составитель курса, ком ...

Особенности нарушений письма у младших школьников при билингвизме
По мнению Гончаровой В.А. проблема нарушений письменной речи является одной из наиболее актуальных на современном этапе развития логопедии, что обусловлено значительной распространенностью этой речевой патологии, тенденцией к увеличению числа детей, страдающих дисграфиями, дислексиями, значительным ...

Развитие музыкального восприятия дошкольников
Восприятие – это отражение в коре головного мозга предметов и явлений, воздействующих на анализаторы человека. Восприятие – не просто механическое, зеркальное отражение мозгом человека того, что находится перед его глазами или того, что слышит его ухо. Восприятие всегда активный процесс, активная д ...