Координатные поверхности составляют три семейства:
а) — концентрические сферы с центром в начале координат;
б) — круговые конусы, осью которых служит ось
;
в) — полуплоскости, проходящие через ось
.
Якобиан этого преобразования:
.
Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо
, и якобиан обращается в нуль.
3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:
,
,
однозначно обратимо:
,
,
.
Оно называется инверсией.
4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:
,
состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при
) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при
).
Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :
,
имеет знак минус при , знак плюс при
, снова знак минус при
и, наконец, знак плюс при больших
. Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один
(что отвечает эллипсоиду), второй
, (он дает однополостный гиперболоид), третий
(двуполостной гиперболоид).
Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:
,
;
,
найдем:
,
,
.
Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.
Якобиан преобразования имеет вид:
Образовательный аспект темы "Периодический закон"
Периодический закон и периодическая система элементов — это не только один из важнейших законов природы, это и методическая основа изучения химии. Это, с одной стороны, цель, с другой — средство изучения химии. На основе периодического закона Д. И. Менделеев создает стройный курс, нашедший свое выр ...
Характеристика практических методов обучения
В процессе обучения большое значение имеет выработка у учащихся умений и навыков применения полученных знаний на практике. Метод упражнений. Умения и навыки формируются с помощью метода упражнений. Сущность этого метода состоит в том, что учащиеся производят многократные действия, т.е. тренируются ...
Способы организации коллективной работы старших дошкольников
При коллективной форме организации учебной работы ведущую роль играет общение и взаимодействие детей друг с другом. Коллективным и продуктивным общение становится тогда, когда оно имеет сменяющуюся парную структуру, т.е. учащиеся общаются в парах сменного состава. Только такая работа отвечает совре ...