Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Неблагополучные семьи. Особенности детей из семей с алкогольной зависимостью
У понятия «неблагополучная семья» нет четкого определения в научной литературе. Употребляются синонимы данного понятия: деструктивная семья, дисфункциональная семья, семья группы риска, негармоничная семья. Неблагополучная семья – это семья, в которой нарушена структура, обесцениваются или игнориру ...

Формирование двигательной активности детей 2-3 лет через использование нестандартного физкультурного оборудования
В современном мире, в эпоху XXI века, предъявляются новые, более высокие требования к человеку, в том числе и к ребенку, к его здоровью и знаниям. Постоянно усиливающееся влияние на организм ребенка разнообразных отрицательных факторов окружающей среды приводит к ухудшению состояния здоровья, к сни ...

Особенности процесса самообразования воспитателя дошкольного образовательного учреждения
В настоящее время становится все более очевидным, что осуществление процессов модернизации образования с необходимостью требует актуализации личностного и профессионального потенциала педагогов. Именно концентрация сил на создании условий для понимания и принятия педагогами целей и содержания обнов ...