Преобразование пространств и криволинейные координаты

Идеи, развитые в связи с преобразованием плоских областей, естественно переносятся и на случай пространственных областей.

Пусть имеем пространство, отнесенное к системе прямоугольных координат , и другое пространство с системой координат . Рассмотрим две замкнутые области и в этих пространствах ограниченные соответственно поверхностями и , которые всегда будем предполагать кусочно-гладкими. Допустим, что эти области связаны между собой взаимно однозначным непрерывным соответствием, которое осуществляется формулами:

При этом, необходимо, точкам поверхности отвечают именно точки поверхности , и наоборот.

Пусть функции (19) имеют в области непрерывные частные производные; тогда и якобиан

также является непрерывной функцией в . Здесь будем считать, что этот определитель всегда отличен от нуля, сохраняя определенный знак.

Если в области взять кусочно- гладкую поверхность:

, ,

(предполагая, что параметры изменяются в некоторой области на плоскости ), то формулы (19) преобразуют ее в кусочно-гладкую же поверхность в области . Эта поверхность будет иметь уравнения

.

Ограничимся случаем гладкой поверхности: на ней особых точек нет, так что определяем:

, ,

одновременно в нуль не обращаются. Проверке подлежит лишь отсутствие особых точек и на поверхности.

Имеем линейные равенства относительно величин:

,

,

.

Определитель, составленный из коэффициентов при этих величинах, т.e. из алгебраических дополнений к элементам определителя , по известной теореме алгебры равен квадрату этого последнего и, следовательно, вместе с ним отличен от нуля. Если бы левые части написанных равенств в какой-нибудь точке одновременно обратились а нуль, то нулями были бы и все три определителя, что противоречило бы допущению.

Числа , , однозначно характеризующие положение точки в пространстве , называются криволинейными координатами этой точки. Точки пространства , для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет существовать три семейства таких координатных поверхностей; через каждую точку области проходит по одной поверхности каждого семейства.

Разработка внеклассного мероприятия с использованием подручного материала
Тема: Солёное тесто Класс: 6 Цель: Образовательная - способствовать формированию знаний у учащихся о солёном тесте. Развивающая - расширить кругозор знаний у учащихся. Воспитательная - способствовать развитию таких качеств личности, как аккуратность, нравственность, точность при выполнении работы. ...

О задачах и проблемах учеников в инокультурной среде
Первая задача для человека, попавшего в инокультурную школу, это учить язык, на котором ведется преподавание. В школах в этом почти не помогают, и школьнику приходится просто впитывать этот язык из среды самому, сначала очень пассивно, а позже понемногу начиная самому использовать запомнившиеся сло ...

Философско-мировоззренческая подготовка школьников
Научные знания выступают как часть, сторона, подтверждение диалектического взгляда на мир. Рассматривая научное мировоззрение как способ осмысления, понимания и оценки объективной реальности, мы обнаруживаем, что оно представляет собой связь между различными знаниями, идеями, понятиями, образующими ...