Идеи, развитые в связи с преобразованием плоских областей, естественно переносятся и на случай пространственных областей.
Пусть имеем пространство, отнесенное к системе прямоугольных координат , и другое пространство с системой координат
. Рассмотрим две замкнутые области
и
в этих пространствах ограниченные соответственно поверхностями
и
, которые всегда будем предполагать кусочно-гладкими. Допустим, что эти области связаны между собой взаимно однозначным непрерывным соответствием, которое осуществляется формулами:
При этом, необходимо, точкам поверхности отвечают именно точки поверхности
, и наоборот.
Пусть функции (19) имеют в области непрерывные частные производные; тогда и якобиан
также является непрерывной функцией в . Здесь будем считать, что этот определитель всегда отличен от нуля, сохраняя определенный знак.
Если в области взять кусочно- гладкую поверхность:
,
,
(предполагая, что параметры изменяются в некоторой области на плоскости
), то формулы (19) преобразуют ее в кусочно-гладкую же поверхность в области
. Эта поверхность будет иметь уравнения
.
Ограничимся случаем гладкой поверхности: на ней особых точек нет, так что определяем:
,
,
одновременно в нуль не обращаются. Проверке подлежит лишь отсутствие особых точек и на поверхности.
Имеем линейные равенства относительно величин:
,
,
.
Определитель, составленный из коэффициентов при этих величинах, т.e. из алгебраических дополнений к элементам определителя , по известной теореме алгебры равен квадрату этого последнего и, следовательно, вместе с ним отличен от нуля. Если бы левые части написанных равенств в какой-нибудь точке одновременно обратились а нуль, то нулями были бы и все три определителя, что противоречило бы допущению.
Числа ,
,
однозначно характеризующие положение точки в пространстве
, называются криволинейными координатами этой точки. Точки пространства
, для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет существовать три семейства таких координатных поверхностей; через каждую точку области
проходит по одной поверхности каждого семейства.
Сущность, структура и виды самостоятельной работы
Известно, что основная цель самостоятельной деятельности на уроках - научить школьников мыслить, анализировать, обобщать и усваивать учебный материал. Самостоятельная деятельность формируется различными средствами, из которых наиболее распространенным является самостоятельная работа. Многие ученые, ...
Использование экологических знаний при изучении темы «Кальций и его
соединения
Бесспорно, что сегодня образованному человеку не обойтись без экологических знаний. В общеобразовательных учреждениях проблема решается введением дисциплины «Экология». В случае, когда это невозможно, вопрос решается через экологизацию школьных дисциплин. На уроках химии учитель поднимает многие эк ...
Анализ имеющихся ИКТ для знакомства дошкольников с цветом
Любая педагогическая технология - это информационная технология, так как основу технологического процесса обучения составляет получение и преобразование информации. Более удачным термином для технологий обучения, использующих компьютер, является компьютерная технология. Компьютерные (новые информац ...