Преобразование пространств и криволинейные координаты

Идеи, развитые в связи с преобразованием плоских областей, естественно переносятся и на случай пространственных областей.

Пусть имеем пространство, отнесенное к системе прямоугольных координат , и другое пространство с системой координат . Рассмотрим две замкнутые области и в этих пространствах ограниченные соответственно поверхностями и , которые всегда будем предполагать кусочно-гладкими. Допустим, что эти области связаны между собой взаимно однозначным непрерывным соответствием, которое осуществляется формулами:

При этом, необходимо, точкам поверхности отвечают именно точки поверхности , и наоборот.

Пусть функции (19) имеют в области непрерывные частные производные; тогда и якобиан

также является непрерывной функцией в . Здесь будем считать, что этот определитель всегда отличен от нуля, сохраняя определенный знак.

Если в области взять кусочно- гладкую поверхность:

, ,

(предполагая, что параметры изменяются в некоторой области на плоскости ), то формулы (19) преобразуют ее в кусочно-гладкую же поверхность в области . Эта поверхность будет иметь уравнения

.

Ограничимся случаем гладкой поверхности: на ней особых точек нет, так что определяем:

, ,

одновременно в нуль не обращаются. Проверке подлежит лишь отсутствие особых точек и на поверхности.

Имеем линейные равенства относительно величин:

,

,

.

Определитель, составленный из коэффициентов при этих величинах, т.e. из алгебраических дополнений к элементам определителя , по известной теореме алгебры равен квадрату этого последнего и, следовательно, вместе с ним отличен от нуля. Если бы левые части написанных равенств в какой-нибудь точке одновременно обратились а нуль, то нулями были бы и все три определителя, что противоречило бы допущению.

Числа , , однозначно характеризующие положение точки в пространстве , называются криволинейными координатами этой точки. Точки пространства , для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет существовать три семейства таких координатных поверхностей; через каждую точку области проходит по одной поверхности каждого семейства.

Программа логопедических занятий для учащихся 1-7 классов школы VIII вида
Общая характеристика программы Процесс гуманизации общества и школы, изменение целей и содержания создают ситуацию, позволяющую по новому оценить логопедическую работу в школе VIII вида. Логопедическая работа в школе VIII вида занимает важное место в процессе коррекции нарушений развития детей с ин ...

Сравнительная характеристика мышления и речи детей с нормальным речевым развитием и с ЗПР
Дети с нормальным развитием на 70% показали высокий уровень сформированности мыслительных процессов и речи. Незначительные трудности возникли при решении «Аналитических задач» и составлении пересказа текста «Утята». Видимо, это связано с тем, что детям 6-7 летнего возраста сложно воспринимать и уде ...

Организация и методики исследования
Для реализации поставленной цели экспериментального исследования особенностей двигательной памяти у старших дошкольников с моторной алалией был проведен констатирующий эксперимент. В эксперименте приняли участие 40 детей в возрасте 5-7 лет, из них – 20 нормально говорящих детей (дошкольное учрежден ...