Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

2. Если , то , причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.

3. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.

4. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем

5. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то

6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство

.

7. Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то

Иными словами, имеет место теорема о среднем значении

.

В случае непрерывности функции эту формулу можно написать

где есть некоторая точка области .

Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.

Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :

Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке , так называется предел

при стягивании к точке М содержащей ее области .

8. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная

Рис. 1.

по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.

Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.

Предметная деятельность дошкольника
В первые годы дошкольного детства предметная деятельность уступает ведущее место игре. Игра, рисование, конструирование (а также сходные с рисованием и конструированием другие виды продуктивной деятельности – аппликация, лепка) окончательно оформляются как самостоятельные виды деятельности. Овладен ...

Эффективность использования информационных технологий в обучении иностранным языкам
Использование компьютерных технологий в обучении иностранным языкам в значительной мере изменило подходы к разработке учебных материалов по этой дисциплине. В отличие от традиционного, интерактивное обучение на основе мультимедийных программ позволяет более полно реализовать целый комплекс методиче ...

Европейский опыт развитития инновационных компаний при вузах
В 2010 г. в рамках Евросоюза был создан Инновационный союз, основными целями, заявленными при создании являются увеличение темпов роста затрат на НИиР до 3% к ВВП в 2020 г., а также обеспечение взаимодействия научно – исследовательских систем европейских стран, модернизация образования, обеспечение ...