Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

2. Если , то , причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.

3. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.

4. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем

5. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то

6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство

.

7. Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то

Иными словами, имеет место теорема о среднем значении

.

В случае непрерывности функции эту формулу можно написать

где есть некоторая точка области .

Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.

Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :

Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке , так называется предел

при стягивании к точке М содержащей ее области .

8. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная

Рис. 1.

по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.

Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.

Новые статьи:

Вальдорфская педагогика
Вальдорфская педагогика — это своеобразная форма обучения, развившаяся в Германии. В 1919 г. рабочие табачной фабрики Вальдорф Астория (отсюда и название) в Штутгарте вместе с директором фабрики предложили немецкому ученому Рудольфу Штейнеру (1861-1925) создать школу для их детей. Р. Штейнер, после ...

Социально-педагогическая работа по социализации детей "группы риска" в общеобразовательном учреждении
Руководствуясь принципами государственной политики в области образования, которые изложены в Законе Российской Федерации об образовании, а в частности, принципом общедоступности образования, адаптивности системы образования к уровням и особенностям развития и подготовки обучающихся, воспитанников, ...

Выявление взаимосвязей между показателями общительности, нервно-психической неустойчивости
С целью определения связи между показателями общительности, нервно-психической неустойчивости, тревожности-самоуверенности и физической агрессии у детей с легкой степенью умственной отсталости был проведен корреляционный анализ, результаты которого представлены ниже в виде корреляционных плеяд. В г ...

Разделы

Copyright © 2025 - All Rights Reserved - www.detailededu.ru