Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

2. Если , то , причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.

3. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.

4. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем

5. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то

6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство

.

7. Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то

Иными словами, имеет место теорема о среднем значении

.

В случае непрерывности функции эту формулу можно написать

где есть некоторая точка области .

Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.

Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :

Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке , так называется предел

при стягивании к точке М содержащей ее области .

8. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная

Рис. 1.

по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.

Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.

Проведение констатирующего этапа эксперимента. Диагностика уровня музыкальной выразительности исполнения у младших школьников
Младший школьный возраст – вершина детства. Ребенок сохраняет много детских качеств – легкомыслие, наивность, полная вера в близкого взрослого. Но он уже начинает утрачивать детскую непосредственность в поведении, у него появляется другая логика мышления. Младший школьный возраст – начало школьной ...

Особенности формирования культуры межнационального общения у младших подростков
Культура межнациональных отношений - есть не что иное, как высокая степень совершенства и развития этих отношений, которые проявляются в межнациональных экономических и духовных связях разных народов, в соблюдении определенного нравственного такта и взаимной уважительности представителей различных ...

Содержание методики эффективного сотрудничества с родителями детей дошкольного возраста
Для успешного взаимодействия с родителями, имеющими разные педагогические установки на сотрудничество с ДОУ, были выбраны следующие направления, выступающие педагогически – целесообразными методами эффективного взаимодействия педагогов ДОУ и родителей: 1. Формирование у родителей установки на сотру ...