1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.
2. Если , то
, причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.
3. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.
4. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем
5. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то
6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция
, и имеет место неравенство
.
7. Если интегрируемая в функция
удовлетворяет неравенству
, то
Иными словами, имеет место теорема о среднем значении
.
В случае непрерывности функции эту формулу можно написать
где есть некоторая точка области
.
Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.
Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :
Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке
, так называется предел
при стягивании к точке М содержащей ее области .
8. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная
Рис. 1.
по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.
Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.
Дидактические игры и лексические упражнения - методы словарной работы
«Процесс игры, утверждал Ф. Фребель, - это выявление и проявление того, что изначально заложено в человеке божеством. Через игру ребенок, по мнению Ф. Фребеля, познает божественное начало, законы мироздания и самого себя. Ф. Фребель придает игре большое воспитательное значение: игра развивает ребен ...
Распределение зарядов в объеме
Существенным параметром, определяющим качество электрета, является распределение зарядов по объему электрета, перпендикулярно плоскости поверхности. Простейшим способом измерения распределения зарядов в объеме является метод последовательного срезания поверхностных слоев при низких температурах, чт ...
Проблема содержания
учебных предметов
Есть несколько аспектов этой проблемы: обновление учебного материала в соответствии с изменениями в окружающем мире и достижениями базовых наук; включение новых разделов и тем, необходимых для жизни в современном обществе, имеющих общекультурное значение; перераспределение учебного материала между ...