1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.
2. Если , то , причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.
3. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.
4. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем
5. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то
6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство
.
7. Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то
Иными словами, имеет место теорема о среднем значении
.
В случае непрерывности функции эту формулу можно написать
где есть некоторая точка области .
Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.
Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :
Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке , так называется предел
при стягивании к точке М содержащей ее области .
8. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная
Рис. 1.
по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.
Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.