Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

2. Если , то , причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.

3. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.

4. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем

5. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то

6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство

.

7. Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то

Иными словами, имеет место теорема о среднем значении

.

В случае непрерывности функции эту формулу можно написать

где есть некоторая точка области .

Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.

Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :

Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке , так называется предел

при стягивании к точке М содержащей ее области .

8. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная

Рис. 1.

по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.

Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.

Формы и содержание работы с семьей
Целью социально-педагогической деятельности является реализация программы комплексной поддержки. Организация социально-педагогической работы осуществляется поэтапно. На начальном этапе происходит диагностика микросоциума и воспитательного потенциала семьи. Сюда относятся материальные и бытовые усло ...

Методика и организация констатирующего эксперимента
Исследование особенностей связной речи проводилось на базе ДУ №249 города Минска. В эксперименте приняли участие 40 детей: 20 детей 5-5,5 лет, имеющих общее недоразвитие речи - из них 10 мальчиков и 10 девочек и 20 детей 5 -5,5 лет с нормальным речевым развитием - из них 9 мальчиков и 11 девочек. И ...

Анализ системы подготовки квалифицированных рабочих в Швейцарии
В Швейцарии существуют некоторые особенности реализации принципов профессионального обучения. В процессе обучения, преподаватель должен стараться обеспечить вовлечение жизненного опыта студентов в усвоение идей конкретного курса. Наиболее успешное обучение - обучение через действие. Чтобы взаимодей ...