При построении общего определения нового интегрального образования тройного интеграла - основную роль играет понятие объема тела.
С понятием объема уже знакомы. Условие существования объема для данного тела заключается в том, чтобы ограничивающая его поверхность имела объем 0 . Только такие поверхности будем рассматривать, так, что существование объемов во всех нужных нам случаях тем самым обеспечивается. В частности, в состав указанного класса поверхностей входят кусочно-гладкие поверхности.
Пусть теперь в некоторой пространственной области (V) задана функция f(x, y, z). Разобьем эту область с помощью сети поверхностей на конечное число частей (V1), (V2), … , (Vn), имеющих соответственно объемы V1, V2, … ,Vn. В пределах i-го элемента возьмем произвольную точку , значение функции в этой точке
умножим на объем Vi и составим интегральную сумму
Vi.
Конечный предел I этой суммы, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех областей (Vi) и называется тройным интегралом функции f(x, y, z) в области (V). Он обозначается символом
.
Конечный предел подобного вида может существовать только для ограниченной функции. Для такой функции вводятся, кроме интегральной суммы σ, еще суммы Дарбу:
,
,
где ,
.
Обычным путем устанавливается, что для существования интеграла необходимо и достаточно условие
или
,
где есть колебание функции f в области
. Заметим, что при существовании интеграла обе суммы s, S также имеют его своим пределом.
Отсюда непосредственно следует, что всякая непрерывная функция f интегрируема.
Можно несколько расширить эти условия, а именно: интегрируема всякая ограниченная функция, все разрывы которой лежат на конечном числе поверхностей с объемом 0.
Доказательство этого утверждения основано на следующей лемме:
Если область (V), содержащая поверхность (S) с объемом 0, разложена на элементарные области, то сумма объемов тех из них, которые задевают поверхность (S), стремиться к нулю вместе с диаметрами всех частичных областей.
Сущность непрерывного образования
Идея непрерывного образования занимает заметное место в ряду прогрессивных идей культуры XX в. Общечеловеческая и философская значимость этой идеи велика, так как смысл ее заключается в том, чтобы обеспечить каждому человеку постоянное развитие, совершенствование, творческое обновление на протяжени ...
Тема «Кальций и его соединения» в школьном курсе химии
Химия – одна из стремительно развивающихся областей знания, результаты ее ускоренного развития в макро- и микромасштабах проявляются в повседневной жизни. А вот время на изучение этой дисциплины в школе неуклонно сокращается. И это не может не увеличивать пропасть между наукой и содержанием школьно ...
Теория Пиаже
Исследования Жана Пиаже называют клиническим подходом к пониманию мыслительных процессов у детей. По сути его метод состоял в свободной беседе с детьми различного возраста с целью выяснить особенности их восприятия и понятийного мышления от рождения до юношества. Среди основных понятий, которыми оп ...