Тройной интеграл и условия его существования

При построении общего определения нового интегрального образования тройного интеграла - основную роль играет понятие объема тела.

С понятием объема уже знакомы. Условие существования объема для данного тела заключается в том, чтобы ограничивающая его поверхность имела объем 0 . Только такие поверхности будем рассматривать, так, что существование объемов во всех нужных нам случаях тем самым обеспечивается. В частности, в состав указанного класса поверхностей входят кусочно-гладкие поверхности.

Пусть теперь в некоторой пространственной области (V) задана функция f(x, y, z). Разобьем эту область с помощью сети поверхностей на конечное число частей (V1), (V2), … , (Vn), имеющих соответственно объемы V1, V2, … ,Vn. В пределах i-го элемента возьмем произвольную точку , значение функции в этой точке умножим на объем Vi и составим интегральную сумму

Vi.

Конечный предел I этой суммы, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех областей (Vi) и называется тройным интегралом функции f(x, y, z) в области (V). Он обозначается символом

.

Конечный предел подобного вида может существовать только для ограниченной функции. Для такой функции вводятся, кроме интегральной суммы σ, еще суммы Дарбу:

, ,

где , .

Обычным путем устанавливается, что для существования интеграла необходимо и достаточно условие

или ,

где есть колебание функции f в области . Заметим, что при существовании интеграла обе суммы s, S также имеют его своим пределом.

Отсюда непосредственно следует, что всякая непрерывная функция f интегрируема.

Можно несколько расширить эти условия, а именно: интегрируема всякая ограниченная функция, все разрывы которой лежат на конечном числе поверхностей с объемом 0.

Доказательство этого утверждения основано на следующей лемме:

Если область (V), содержащая поверхность (S) с объемом 0, разложена на элементарные области, то сумма объемов тех из них, которые задевают поверхность (S), стремиться к нулю вместе с диаметрами всех частичных областей.

О задачах и проблемах учеников в инокультурной среде
Первая задача для человека, попавшего в инокультурную школу, это учить язык, на котором ведется преподавание. В школах в этом почти не помогают, и школьнику приходится просто впитывать этот язык из среды самому, сначала очень пассивно, а позже понемногу начиная самому использовать запомнившиеся сло ...

Проблемы здорового образа жизни подростков
Чтобы быть здоровым, нужны здоровые жизненные навыки, здоровые привычки. Уже не приходится доказывать, что принципы ЗОЖ - необходимые условия здоровья. По словам академика Е. Чазова, проблема теперь в том, чтобы эти принципы усвоил и освоил каждый. Человеку конца 20-начала 21 века приходится учитьс ...

Содержание экспериментальной работы по обогащению лексического запаса младших школьников при изучении изобразительно-выразительных средств
Неуклонное улучшение речевых навыков "является в школьном возрасте решающим моментом, определяющим всю умственную судьбу развития ребенка" (Л.С. Выготский). Не случайно главная цель обучения в школе связывается с языковым развитием учащихся. Овладение родным языком как средством и способо ...