Возвращаясь к предположениям и обозначениям п° 1.1, поставим себе задачей выразить объем (ограниченного) тела в пространстве
. Иным интегралом, распространенным на соответствующее тело
в пространстве
.
Искомый объем выражается, прежде всего поверхностным интегралом второго типа:,распространенным на внешнюю сторону поверхности
. Отсюда постараемся перейти к обыкновенному двойному интегралу.
Будем исходить из параметрических уравнений поверхности ( изменяются в области
на плоскости
). Тогда уравнения выразят, очевидно, поверхность
.
Полагая , имеем:
.
При этом интеграл берется со знаком плюс, если ориентация поверхности , связанная с рассмотрением внешней ее стороны соответствует ориентации плоскости
, что всегда можно предположить.
Так как зависят от
через посредство переменных
, то, по известному свойствy функциональных определителей:
.
Подставляя выражение в полученный выше интеграл, найдем:
.
Сопоставим этот интеграл с поверхностным интегралом второго типа, распространенным на внешнюю сторону поверхности :
.
Если его преобразовать, исходя из параметрических уравнений к обыкновенному двойному интегралу придем как раз к интегралу. Единственное различие между этими интегралами может заключаться лишь в знаке: если ориентация плоскости соответствует ориентации поверхности
, связанной с рассмотрением внешней ее стороны, то интегралы равны, в противном же случае они разнятся знаками.
Наконец, от интеграла по формуле Остроградского можно перейти к тройному интегралу по области :
.
Подинтегральное выражение равно:
Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна якобиану:
,
в чем легко убедиться, разлагая этот определитель по элементам последней строки; сумма же в квадратных скобках, как показывает непосредственное вычисление, равна нулю. Таким образом, приходим к формуле:
.
Если вспомнить, что по предположению якобиан сохраняет знак, который он сообщает и интегралу, то станет ясно (так как здесь считаем ), что знак перед интегралом должен совпасть со знаком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме:
Проблема
определения нормы и паталогии в развитии ребенка
Гнев у нервно-психопатичных детей также проявляется в виде припадков, которые весьма трудно отличить от тех, что бывают у нормальных детей. И только опытному глазу специалиста удается отметить разницу и установить, что у детей нервных и психопатов вспышки гнева наступают неожиданно, без всякого вид ...
Сравнительная характеристика мышления и речи детей с
нормальным речевым развитием и с ЗПР
Дети с нормальным развитием на 70% показали высокий уровень сформированности мыслительных процессов и речи. Незначительные трудности возникли при решении «Аналитических задач» и составлении пересказа текста «Утята». Видимо, это связано с тем, что детям 6-7 летнего возраста сложно воспринимать и уде ...
Характеристика других видов игровой деятельности дошкольника: строительные,
подвижные, дидактические игры
Игровая деятельность детей не исчерпывается только сюжетно-ролевыми играми, хотя они наиболее характерны для дошкольника. Разновидностью сюжетно-ролевой игры являются строительные игры и игры-драматизации. Эту группу игр иногда называют творческими. В них дети не просто копируют те или иные стороны ...