Возвращаясь к предположениям и обозначениям п° 1.1, поставим себе задачей выразить объем (ограниченного) тела в пространстве
. Иным интегралом, распространенным на соответствующее тело
в пространстве
.
Искомый объем выражается, прежде всего поверхностным интегралом второго типа:,распространенным на внешнюю сторону поверхности
. Отсюда постараемся перейти к обыкновенному двойному интегралу.
Будем исходить из параметрических уравнений поверхности ( изменяются в области
на плоскости
). Тогда уравнения выразят, очевидно, поверхность
.
Полагая , имеем:
.
При этом интеграл берется со знаком плюс, если ориентация поверхности , связанная с рассмотрением внешней ее стороны соответствует ориентации плоскости
, что всегда можно предположить.
Так как зависят от
через посредство переменных
, то, по известному свойствy функциональных определителей:
.
Подставляя выражение в полученный выше интеграл, найдем:
.
Сопоставим этот интеграл с поверхностным интегралом второго типа, распространенным на внешнюю сторону поверхности :
.
Если его преобразовать, исходя из параметрических уравнений к обыкновенному двойному интегралу придем как раз к интегралу. Единственное различие между этими интегралами может заключаться лишь в знаке: если ориентация плоскости соответствует ориентации поверхности
, связанной с рассмотрением внешней ее стороны, то интегралы равны, в противном же случае они разнятся знаками.
Наконец, от интеграла по формуле Остроградского можно перейти к тройному интегралу по области :
.
Подинтегральное выражение равно:
Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна якобиану:
,
в чем легко убедиться, разлагая этот определитель по элементам последней строки; сумма же в квадратных скобках, как показывает непосредственное вычисление, равна нулю. Таким образом, приходим к формуле:
.
Если вспомнить, что по предположению якобиан сохраняет знак, который он сообщает и интегралу, то станет ясно (так как здесь считаем ), что знак перед интегралом должен совпасть со знаком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме:
Характеристика образовательного стандарта для профессионально технических
училищ по общей биологии
Изучение биологии на базовом уровне направлено на достижение следующих целей и реализации учебных задач: освоение знаний о биологических системах (клетка, организм, вид, экосистема); истории развития современных представлений о живой природе; выдающихся открытиях в биологической науке; роли биологи ...
Подход к мышлению и пониманию в рамках проекта
«Индивидуальный прогресс»
интеллект мышление психометрический Согласно проекту намечаемая система диагностики индивидуального прогресса (ИП) школьников должна преодолеть статичность и эгоцентризм форм диагностики в образовании и ассимилировать те новые тенденции в этой области, которые внес компетентностный подход. Предвари ...
Классификация современных информационных
технологий
Существующие в настоящее время ИТ классифицируются по различным признакам. ИТ, в частности, различаются по типу обрабатываемой информации, но могут объединяться в интегрированные технологии. любая классификация в известной мере условна, поскольку большинство этих ИТ позволяет поддерживать и другие ...