Выражение объема в криволинейных координатах

Возвращаясь к предположениям и обозначениям п° 1.1, поставим себе задачей выразить объем (ограниченного) тела в пространстве . Иным интегралом, распространенным на соответствующее тело в пространстве .

Искомый объем выражается, прежде всего поверхностным интегралом второго типа:,распространенным на внешнюю сторону поверхности . Отсюда постараемся перейти к обыкновенному двойному интегралу.

Будем исходить из параметрических уравнений поверхности ( изменяются в области на плоскости ). Тогда уравнения выразят, очевидно, поверхность .

Полагая , имеем:.

При этом интеграл берется со знаком плюс, если ориентация поверхности , связанная с рассмотрением внешней ее стороны соответствует ориентации плоскости , что всегда можно предположить.

Так как зависят от через посредство переменных , то, по известному свойствy функциональных определителей:

.

Подставляя выражение в полученный выше интеграл, найдем:

.

Сопоставим этот интеграл с поверхностным интегралом второго типа, распространенным на внешнюю сторону поверхности :

.

Если его преобразовать, исходя из параметрических уравнений к обыкновенному двойному интегралу придем как раз к интегралу. Единственное различие между этими интегралами может заключаться лишь в знаке: если ориентация плоскости соответствует ориентации поверхности , связанной с рассмотрением внешней ее стороны, то интегралы равны, в противном же случае они разнятся знаками.

Наконец, от интеграла по формуле Остроградского можно перейти к тройному интегралу по области :

.

Подинтегральное выражение равно:

Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна якобиану:

,

в чем легко убедиться, разлагая этот определитель по элементам последней строки; сумма же в квадратных скобках, как показывает непосредственное вычисление, равна нулю. Таким образом, приходим к формуле:

.

Если вспомнить, что по предположению якобиан сохраняет знак, который он сообщает и интегралу, то станет ясно (так как здесь считаем ), что знак перед интегралом должен совпасть со знаком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме:

Особенности мышления и речи детей с ЗПР
Мышление – высшая форма отражения мозгом окружающего мира, наиболее сложный познавательный психический процесс, свойственный только человеку и характеризующийся обобщённым и опосредованным отражением действительности. Сущность его в отражении: Общих и существенных свойств предметов и явлений, в том ...

Воспитание толерантности в системе образования
Образование подрастающих поколений, обеспечивая механизм трансляции этнического наследия новым поколениям, призвано, вместе с тем, обеспечить и интеграционные процессы, заложить основы для понимания и общения с другими культурами, нацеливать на умение поддерживать и развивать диалог культур. Этим з ...

Музыкальное воспитание и развитие детей дошкольного возраста в контексте современных концепций детства
Что мы знаем о детстве? В силу широкой распространенности данного понятия каждый из нас уверен, что знает о детстве все, легко может объяснить это явление и его значение в жизни взрослого человека. Но именно за простым с обывательской точки зрения пониманием детства скрывается неопознанность и необ ...