Возвращаясь к предположениям и обозначениям п° 1.1, поставим себе задачей выразить объем (ограниченного) тела в пространстве
. Иным интегралом, распространенным на соответствующее тело
в пространстве
.
Искомый объем выражается, прежде всего поверхностным интегралом второго типа:,распространенным на внешнюю сторону поверхности
. Отсюда постараемся перейти к обыкновенному двойному интегралу.
Будем исходить из параметрических уравнений поверхности ( изменяются в области
на плоскости
). Тогда уравнения выразят, очевидно, поверхность
.
Полагая , имеем:
.
При этом интеграл берется со знаком плюс, если ориентация поверхности , связанная с рассмотрением внешней ее стороны соответствует ориентации плоскости
, что всегда можно предположить.
Так как зависят от
через посредство переменных
, то, по известному свойствy функциональных определителей:
.
Подставляя выражение в полученный выше интеграл, найдем:
.
Сопоставим этот интеграл с поверхностным интегралом второго типа, распространенным на внешнюю сторону поверхности :
.
Если его преобразовать, исходя из параметрических уравнений к обыкновенному двойному интегралу придем как раз к интегралу. Единственное различие между этими интегралами может заключаться лишь в знаке: если ориентация плоскости соответствует ориентации поверхности
, связанной с рассмотрением внешней ее стороны, то интегралы равны, в противном же случае они разнятся знаками.
Наконец, от интеграла по формуле Остроградского можно перейти к тройному интегралу по области :
.
Подинтегральное выражение равно:
Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна якобиану:
,
в чем легко убедиться, разлагая этот определитель по элементам последней строки; сумма же в квадратных скобках, как показывает непосредственное вычисление, равна нулю. Таким образом, приходим к формуле:
.
Если вспомнить, что по предположению якобиан сохраняет знак, который он сообщает и интегралу, то станет ясно (так как здесь считаем ), что знак перед интегралом должен совпасть со знаком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме:
Стратегические цели и задачи развития системы образования
Тверской области
Миссия образования – создание условий для проявления потенциала личности через развитие образовательной среды, обеспечивающей подготовку человека к успешной общественной и профессиональной деятельности ради: сохранения и укрепления здоровья каждого человека, сохранения и развития духовных и культур ...
Инструментальные методы
Параклинические исследования направлены, в первую очередь, на установление нозологического диагноза при умственной отсталости с использованием различных методов лабораторной диагностики на биохимическом или цитогенетическом уровне с выявлением специфических нарушений метаболизма либо хромосомного н ...
Методы и приемы обогащения словаря детей дошкольного возраста
Алексеева М.М., Яшина В.И. выделяют две группы методов: методы накопления содержания детской речи и методы, направленные на закрепление и активизацию словаря, развитие его смысловой стороны. Первая группа включает методы: А) непосредственного ознакомления с окружающим и обогащения словаря: рассматр ...