Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

(5)

и при каждом постоянном из — двойной интеграл

,

то существует также повторный интеграл

, (7)

и выполняется равенство

.

доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек

,

,

,

тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 1.3, 1.7,

для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства

.

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :

.

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Если , то

И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].

Построения начальной школы на принципах народности
В духе идеи народности ставил и разрешал Ушинский и во­прос о школе, о её роли и её задачах. Поэтому его учение о шко­ле в известном смысле можно было бы назвать учением о народ­ной школе. Ушинский, прежде всего, исходил из того положения, что ор­ганизованное и целеустремлённое воспитание имеет реш ...

Констатирующий эксперимент. Обследование уровня сформированности словаря у детей
Исследование проводилось в детском саду №6 «Солнышко» п. Вербилки, Московской области. Оно длилось 5 месяцев. Во время констатирующего эксперимента дети были в возрасте двух с половиной лет, а во время контрольного обследования им было около трёх лет. За основу мы взяли задачи формирования словаря ...

Методы и методики исследования
Следуя гипотезе нашего исследования, мы применили психодиагностические методы и методики, использовали стандартные приемы статистической обработки данных и приемы качественного анализа (дифференциацию, типологию, описание). Были использованы следующие методы: 1. биографический; 2. математическая ст ...