Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

(5)

и при каждом постоянном из — двойной интеграл

,

то существует также повторный интеграл

, (7)

и выполняется равенство

.

доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек

,

,

,

тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 1.3, 1.7,

для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства

.

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :

.

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Если , то

И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].

Условия успешного семейного воспитания
Основными условиями успеха в воспитании детей в семье можно считать наличие нормальной семейной атмосферы, авторитета родителей, правильного режима дня, своевременного приобщения ребенка к книге и чтению, к труду. Нормальная семейная атмосфера – это осознание родителями своего долга и чувства ответ ...

Урок-лабораторная работа по теме «Агрегатные состояния вещества»
Тема: Агрегатные состояния вещества Тип урока: урок-лабораторная работа Цели: Обучающая - проверить знание у учащихся понятий: плавление, кристаллизация, парообразование, температура плавления, отвердевания и кипения; научить учащихся применять знания, полученные при изучении темы “Тепловые явления ...

Урок проверки и коррекции знаний и умений по теме «Тепловые явления»
Тема: Тепловые явления Тип урока: урок проверки и коррекции знаний и умений Вид урока: тестовые задания Цели: образовательная - повторить, обобщить, закрепить знания по теме, продолжить формирование умения решать количественные и качественные задачи; применять полученные знания для объяснения разно ...