Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед
(рис.1), проектирующийся на плоскость
в прямоугольник
.
Теорема. Если для функции существует тройной интеграл
(5)
и при каждом постоянном из
— двойной интеграл
,
то существует также повторный интеграл
, (7)
и выполняется равенство
.
доказательство: Разделим промежутки ,
,
на части с помощью точек
,
,
,
тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды
и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники
(где и
пробегают те же значения, что и только что).
Положив
имеем в силу 1.3, 1.7,
для всех значений из
. Фиксируя произвольное значение
, в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства
.
Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку
:
.
Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей ,
,
. Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла
при любых значениях х из , у из
,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:
.
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.
Если , то
И здесь роли переменных можно переставлять.
В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].
Значение теории Пиаже для обучения географии
Представление о стадиях развития мышления сыграет свою роль лишь в том случае, если удастся определить его значение для обучения географии. Еще в начале 20 века столетия Джеймс Фергрив, основываясь на интуиции и опыте, рекомендовал в преподавании географии идти от известного к неизвестному, от част ...
Основные подходы к пониманию семьи и факторов семейного воспитания
сотрудничество родитель педагогический воспитание Семья – это малая социально – психологическая группа, члены которой связаны брачными или родственными отношениями, общностью быта и взаимной моральной ответственностью и социальная необходимость в которой обусловлена потребностью общества в физическ ...
Упорядочивание внеурочного времени
Видовое разнообразие творческих объединений велико: это кружки, секции, клубы, студии, лаборатории, мастерские, научные общества учащихся, экспедиции. Многогранна и профильная направленность. Связано это прежде всего с тем, что в отличие от факультативов творческие объединения предназначены выполня ...