Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .
Теорема. Если для функции существует тройной интеграл
(5)
и при каждом постоянном из — двойной интеграл
,
то существует также повторный интеграл
, (7)
и выполняется равенство
.
доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек
,
,
,
тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды
и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники
(где и пробегают те же значения, что и только что).
Положив
имеем в силу 1.3, 1.7,
для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства
.
Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :
.
Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла
при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:
.
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.
Если , то
И здесь роли переменных можно переставлять.
В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].
Конспект урока с использованием видео для старших классов средней школы
Предмет: английский язык Тема: «Feelings» Техническое оснащение: готовый ролик, проектор, экран, компьютер Цели урока: 1. развивающие · развитие памяти, внимания, воображения, языковой догадки · развитие логического мышления, умения сравнивать, анализировать, обобщать, делать выводы, планировать св ...
Сравнительный анализ понятий «сообщество» и «экосистема»
Понятие «сообщества» в курсе «Окружающий мир» занимает важное место, так как показывает взаимосвязь и целостность составных компонентов живой природы. Учителю необходимо подвести учащихся к самостоятельному раскрытию понятия «природное сообщество», опираясь на накопленные детьми наблюдения природны ...
Формирование двигательной активности детей 2-3 лет через использование нестандартного физкультурного оборудования
В современном мире, в эпоху XXI века, предъявляются новые, более высокие требования к человеку, в том числе и к ребенку, к его здоровью и знаниям. Постоянно усиливающееся влияние на организм ребенка разнообразных отрицательных факторов окружающей среды приводит к ухудшению состояния здоровья, к сни ...