Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция
, представляет собой прямоугольный параллелепипед
(рис.1), проектирующийся на плоскость
в прямоугольник
.
Теорема. Если для функции
существует тройной интеграл
(5)
и при каждом постоянном
из
— двойной интеграл
,
то существует также повторный интеграл
, (7)
и выполняется равенство
![]()
.
доказательство: Разделим промежутки
,
,
на части с помощью точек
,
,
,
тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды
и одновременно прямоугольник
— на элементарные прямоугольники
(где
и
пробегают те же значения, что и только что).
Положив
имеем в силу 1.3, 1.7,
для всех значений
из
. Фиксируя произвольное значение
, в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства
.
Наконец, умножим эти неравенства почленно на
и просуммируем на этот раз по значку
:
.
Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей
,
,
. Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла
при любых значениях х из
, у из
,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:
.
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных
, в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.
Если
, то
И здесь роли переменных можно переставлять.
В частности, для случая непрерывной функции
,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].
Из опыта учителей начальных классов по использованию дидактических игр на
уроках математики
Мы в своей работе по развитию у учащихся 1-го класса познавательной активности при изучении чисел первого десятка руководствовались общими выводами и рекомендациями по данной проблеме на уроках в начальных классах, с учётом возрастных и индивидуально-психологических особенностей учеников, а также п ...
Понятие и сущность здорового образа жизни
Под образом жизни большинством людей понимается устойчивый, сложившийся в определенных общественно-экологических условиях способ жизнедеятельности человека, проявляющийся в нормах общения, поведения, складе мышления. По мнению Э.Н.Вайнера, понятие образа жизни следовало бы определить как способ жиз ...
Разработка занятия в 3-м классе на тему «Лес – природное сообщество» с
использованием сюжетно-ролевой игры
Актуальность экологического воспитания сегодня имеет большое значение. Очень важно уже в детстве сформировать у ребенка щадящее, оберегающее и ответственное отношение как к ресурсам и объектам дикой природы, так и к достижениям цивилизации, этой «второй» природы, созданной руками и умом человека. Ч ...