Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

(5)

и при каждом постоянном из — двойной интеграл

,

то существует также повторный интеграл

, (7)

и выполняется равенство

.

доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек

,

,

,

тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 1.3, 1.7,

для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства

.

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :

.

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Если , то

И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].

Развитие сюжетно-ролевой игры в дошкольном возрасте
Особое место в деятельности дошкольника занимают игры, которые создаются самими детьми, это творческие или сюжетно-ролевые игры. В них дети воспроизводят в ролях все то, что они видят вокруг себя в жизни и деятельности взрослых. В игре ребенок начинает чувствовать себя членом коллектива, он может с ...

Результаты и выводы экспериментального исследования
Таким образом, исследование взаимодействия в игровых формах коллективного (группового) обучения старших дошкольников позволило обнаружить повторяющиеся факты, свидетельствующие о закрытости мира ребенка миру взрослого, что говорит об отсутствии в широкой педагогической практике личностно - ориентир ...

Знания и умения, которые должны знать учащиеся начальных классов по предмету литературное чтение
Термин «читательские умения» используется методистами в двух смыслах. Во-первых, в широком смысле, когда под читательскими умениями подразумеваются все умения, связанные с литературно-учебной деятельностью школьника, как на уроках литературы, так и на других уроках: восприятие, анализ и оценка любо ...