Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед
(рис.1), проектирующийся на плоскость
в прямоугольник
.
Теорема. Если для функции существует тройной интеграл
(5)
и при каждом постоянном из
— двойной интеграл
,
то существует также повторный интеграл
, (7)
и выполняется равенство
.
доказательство: Разделим промежутки ,
,
на части с помощью точек
,
,
,
тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды
и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники
(где и
пробегают те же значения, что и только что).
Положив
имеем в силу 1.3, 1.7,
для всех значений из
. Фиксируя произвольное значение
, в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства
.
Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку
:
.
Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей ,
,
. Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла
при любых значениях х из , у из
,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:
.
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.
Если , то
И здесь роли переменных можно переставлять.
В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].
Игры и
упражнения для детей с гиперподвижным поведением
Подбирая игры (особенно подвижные) для гиперактивных детей, необходимо учитывать следующие особенности таких детей: дефицит внимания, импульсивность, очень высокую активность, а также неумение длительное время подчиняться групповым правилам, выслушивать и выполнять инструкции (заострять внимание на ...
Как определить проблему исследования и выделить ее основные составляющие,
которые необходимо проанализировать
Всякое исследование в науке предпринимается для того, чтобы преодолеть определенные трудности в процессе познания новых явлений, объяснить ранее неизвестные факты или выявить неполноту старых способов объяснения известных фактов. Эти трудности в наиболее отчетливом виде выступают в так называемых п ...
Расчёт количества теплоты. Удельная теплоёмкость
Количество теплоты (Q) — энергия, которую получает или теряет тело при теплопередаче. Количество теплоты является одной из основных термодинамических величин. Количество теплоты является функцией процесса, а не функцией состояния, то есть количество теплоты, полученное системой, зависит от способа, ...