Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

(5)

и при каждом постоянном из — двойной интеграл

,

то существует также повторный интеграл

, (7)

и выполняется равенство

.

доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек

,

,

,

тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 1.3, 1.7,

для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства

.

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :

.

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Если , то

И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].

Формирование модели специалиста в системе непрерывного образования
Европейский саммит, прошедший в Лиссабоне в марте 2000 г., определил 6 ключевых принципов непрерывного образования. Главной идеей непрерывного образования, как учения длиною в жизнь, Европейская комиссия и страны ЕЭС определили всестороннюю учебную деятельность, осуществляемую на постоянной основе ...

Содержание работы по повышению уровня гуманистических качеств среди старшеклассников
II этап Формирующий, который проходил с ноября 2009 по декабрь 2009 г. Цель формирующего эксперимента – провести коррекцию уровня гуманистических качеств в позитивную сторону. Задачи формирующего эксперимента: - разработать программу Тренинга «Гуманистическое отношение к жизни»; - провести в период ...

Характеристика системы образования Швейцарии
В Швейцарии образование является приоритетом. В стране примерно 1,1 млн. школьников и студентов, она занимает четвертое место в мире по числу нобелевских лауреатов. Швейцария объединяет 26 кантонов, где слились трех языка - немецкий, французский и итальянский. На первом языке говорит 65% населения, ...