Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

(5)

и при каждом постоянном из — двойной интеграл

,

то существует также повторный интеграл

, (7)

и выполняется равенство

.

доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек

,

,

,

тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 1.3, 1.7,

для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства

.

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :

.

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Если , то

И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].

Ребенок и прекрасное
Маленький человек пришел в большой и сложный мир взрослых. В ярком, радостном, многоголосом и многоцветном этом мире мы должны помочь детям найти и полюбить красоту природы, поэзии, живописи, музыки. Искусство помогает ребенку приобщиться к доброму, осудить зло, почувствовать красоту окружающего ми ...

Психолого-педагогические аспекты образования в высшей школе
В настоящее время нет, пожалуй, более спорной проблемы в педагогике и психологии высшей школы, чем проблема воспитания студентов. “Надо ли воспитывать взрослых людей?”, “Стоит ли и корректно ли это делать?” Ответ на эти вопросы зависит от того, как понимать воспитание. Если его понимать как воздейс ...

Анализ готового электива «Окно в Британию»
Аналогично проанализируем элективный курс «Окно в Британию», составленный Т.Д. Андросенко. С точки зрения структурных компонентов, данное издание включает в себя: титульный лист, пояснительную записку, содержание курса, учебно-тематический план. В титульном листе указан автор-составитель курса, ком ...