Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Коррекционная работа по формированию мышления и речи детей с ЗПР
Мышление ребёнка формируется в процессе различных видов деятельности (предметной, игровой), общения, в единстве с процессом овладения речью. В процессе действия с предметами у дошкольников проявляется мотив собственных высказываний: рассуждений, умозаключений. На этой основе формируются образы-пред ...

Характеристика музыкального развития детей младшего дошкольного возраста
На втором году жизни у ребенка активно развивается эмоциональный отклик на музыку. В этом возрасте дети способны эмоционально реагировать на восприятие контрастной по настроению музыки, поэтому можно наблюдать веселое оживление при восприятии ребенком веселой плясовой музыки или спокойную реакцию п ...

Мотивация и ее роль в изучении иностранного языка
Управление мотивацией в изучении иностранного языка является одной из центральных проблем методики преподавания. Мотивация – общее название для процессов, методов, средств побуждения учащихся к продуктивной познавательной деятельности. Изучение и правильное использование действующих мотивов, направ ...